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線形代数２

Linear Algebra 2

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谷口彰男
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授業の概要

線形代数２ではベクトル空間上で定義された線形写像とそれを表す行列の性質，内積空間と固有値問題について学びます．具体的には線形写像の像，核と呼ばれる部分空間，線形写像の行列表現，基底の変換について理解した後に，行列の固有値・固有空間・対角化を学びます．さらにベクトル空間における内積の定義，ベクトルの長さという概念の導入，シュミットの正規直交化法，直交行列，実対称行列の直交行列による対角化を学びます．また，対角化の応用として2次形式の標準形なども学びます．

履修上の注意：数学は積み上げ式の科目なので，1講義ごとの内容を復習によって確かなものにし，講義内外で演習問題を解くことにより定着させてください．尚, 初回の講義で受講生数が７２人を超える場合，人数制限をする場合があります．同じ曜日に複数の同一科目が開講されています．指定された場所で受講するようにして下さい．

達成目標

1.線形写像について理解し，線形写像の表現行列を求められること．
2.固有値，固有ベクトル，対角化ついて理解すること．
3.内積空間，正規直交基，シュミットの直交化法について理解すること．
4.対称行列を直交行列によって対角化できること．
5.２次形式などへ対角化を応用できること．

授業計画


【授業計画】【授業時間外課題（予習および復習を含む）】
1.ベクトル空間の復習と線形写像の定義 線形代数１の内容からベクトル空間，部分空間，基と次元について復習しておくこと．
2.線形写像の核と像、その次元・基 像と核について例を通して理解し，その次元や基底を求められること．
3.与えられた基に対する表現行列（１） 線形写像，基，表現行列の関係について理解すること．
4.与えられた基に対する表現行列（２） 基を取り替えたときの表現行列，基の変換行列を理解すること．
5.固有値の定義、固有ベクトルと固有空間 固有値，固有空間を求められること．
6.行列の対角化と条件（１） 対角化可能の条件を理解し，対角化可能のときは対角化できること．
7.行列の対角化と条件（２） 対角化可能の条件を理解し，対角化可能のときは対角化できること．教員によっては，複素数成分の行列についての対角化，三角化について触れることもある．
8.中間試験および解説 １〜７の復習をしておくこと．
9.内積の定義 内積空間，ベクトルのノルム，直交性について理解すること．
10.正規直交基とグラム・シュミットの正規直交化（１） 正規直交基，直交変換，直交行列をそれぞれ理解しそれらの関係を理解すること．
11.正規直交基とグラム・シュミットの正規直交化（２） シュミットの正規直交化法をできること．
12.対称行列の対角化(1) 対称行列は直交行列によって対角化されることの証明の流れを理解すること．教員によっては行列の三角化についても扱う．
13.対称行列の対角化(2) 直交行列によって対称行列を対角化できること．教員によっては行列の三角化についても扱う．
14.対角化の応用 ２次形式への対角化の応用を理解すること．教員によっては２次曲線，連立微分方程式への応用も扱う．
15.期末試験および解説 総復習

評価方法と基準

中間試験や演習・レポート・小テストなどを４０％，期末試験を６０％とし，総合得点６０点以上を合格とする．

教科書・参考書

三宅敏恒　著「線形代数学・初歩からジョルダン標準形へ」（培風館）

履修登録前の準備

「基底科目（代数）」の認定を受け、「線形代数１」を一度履修したものであることが望ましい

学習・教育到達目標との対応(機械工学科)

1.(D-1)基本的な物理現象を自然科学の原理から数学的に導くことができ，機械の設計や性能評価に必要な技術計算ならびに統計処理を正確に行うことができる．

学習・教育到達目標との対応(機械機能工学科)

1.(E)機械工学における基盤分野の理解に必要な基礎的な数学の知識と応用能力，実験・分析の遂行に必要な確率・統計，情報処理の基礎的な知識や自然現象を数学的にモデル化し，シミュレーションする基礎的な知識と応用能力を習得する 　（1） 基礎的な数学の知識 　（2） 実験データの分析能力 　（3） 情報リテラシの習得 　（4） 自然現象をモデル化し，シミュレーションする能力

学習・教育到達目標との対応(応用化学科)

1.（Ａ）確かな基礎と化学の専門知識に基づいて問題を解決する。

学習・教育到達目標との対応(電気工学科)

1.C2:数理法則と物理原理など工学の基礎理論を理解し、適切に利用することができる。

学習・教育到達目標との対応(電子工学科)

1.(C)自然科学、数学、情報技術の知識を習得し、現象を論理的に考えて理解する能力を身につける。

学習・教育到達目標との対応(土木工学科)

1.C:数学および自然科学などに関する工学基礎知識を習得し、土木工学分野において応用・利活用できる能力を身につける

オフィスアワー、質問・相談の方法

・授業時間の前後

環境との関連

環境に関連しない科目
最終更新 : Thu Jun 09 07:17:09 JST 2016