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V0340300
Z3340200

関数解析

Functional Analysis

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教授竹内慎吾この授業の2016年度のアンケートを参照

授業の概要

この授業では関数解析の基本事項を解説する。関数解析は関数空間と線形作用素に関する理論であり、しばしば「無限次元の線形代数」といわれる。微分方程式をはじめ数値解析、確率解析、量子力学などその応用の範囲は広い。微分方程式や積分方程式などの関数方程式は、関数空間上の作用素に関する方程式と考えられるので、関数解析の立場から研究されることが多い。なお、「解析学III」では関数解析の微分方程式への応用について説明するから、興味のある学生は履修するとよい。

授業の目的

一般に関数方程式の解を具体的に求めることは困難である。だからといって解が存在しないとは言い切れない。解を表現するための関数がまだ定義されていないだけかもしれないし、あるいは本当に解が存在しないのである。関数解析は関数方程式の解の存在・非存在を調べるための理論である。実際は解が存在しない方程式をコンピュータに解かせると、得られるのは解ではなく「怪」であるから要注意。数理科学科や教職課程の学生はこの辺りのことは認識しておいてほしい。

達成目標

1.関数解析の基本事項を理解すること。
2.有限次元空間と無限次元空間の違いを理解すること。
3.関数解析が無限次元の線形代数であることを理解すること。

授業で使用する言語

日本語

授業計画


【授業計画】【授業時間外課題（予習および復習を含む）】
1.線形空間 線形空間の復習をしてくること。
2.縮小写像の原理 距離空間と完備性の復習をしてくること。
3.ノルム空間、Banach空間 完備性の復習をしてくること。
4.Banach空間の例：R^n、l^p Euclid空間と無限級数の復習をしてくること。
5.Banach空間の例：C[a,b]、L^p(a,b) 連続性とLebesgue積分の復習をしてくること。
6.内積空間、Hilbert空間 内積の復習をしてくること。
7.Hilbert空間の例：l^2、L^2(a,b) Hilbert空間、無限級数とLebesgue積分の復習をしてくること。
8.直交分解、射影作用素 直和分解の復習をしてくること。
9.完全正規直交系 基底の復習をしてくること。
10.線形汎関数、共役空間 線形性の復習をしてくること。
11.Rieszの定理 線形汎関数と内積の復習をしてくること。
12.線形作用素 線形写像の復習をしてくること。
13.有界線形作用素 線形作用素の復習をしてくること。
14.双1次形式とLax-Milgramの定理 Rieszの定理の復習をしてくること。
15.期末試験と解説 全体の復習をしてくること。

評価方法と基準

期末試験によって評価する。

教科書・参考書

樋口・芹澤・神保「関数解析学の基礎・基本」（牧野書店）

履修登録前の準備

「解析基礎」「線形空間」「測度論」（Lebesgue積分）の知識を前提とする。

オフィスアワー、質問・相談の方法

・教員のウェブサイトを参照。

環境との関連

環境に関連しない科目

地域志向

地域志向ではない科目

社会的・職業的自立力の育成

・社会的・職業的自立力を育成しない科目

アクティブ・ラーニング科目

該当しない

授業の到達目標と各学科の学習・到達目標との対応

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最終更新 : Sat Sep 24 07:59:08 JST 2016