測度論

この授業ではLebesgue積分について説明する。Lebesgue積分は現代解析学において標準的な積分であり、関数解析学、微分方程式論、確率論、量子力学などで必要不可欠となっている。授業の導入として、従来の積分（Riemann積分）がもつ弱点を指摘し、新しい積分（Lebesgue積分）を考える必要性について述べる。次にF.Rieszの流儀に従い、階段関数の積分値の極限としてLebesgue積分を定義する。この積分がRiemann積分の拡張になっており、またそれよりもはるかに弱い条件下で項別積分定理を満たすことが示される。また項別積分定理を利用することにより、集合に対して長さ・面積・体積を一般化した測度という概念を定義することができる。実はLebesgue自身は、まず測度を定義し、それに基づいた積分としてLebesgue積分を定義した。最後の授業では、RieszとLebesgueのそれぞれの流儀による積分や測度の概念は完全に一致することを述べる。

授業の目的

達成目標

授業で使用する言語

授業計画

	【授業計画】	【授業時間外課題（予習および復習を含む）】
1.	なぜLebesgue積分が必要か	「数学I」の「積分」（Riemann積分）を復習してくること。
2.	積分論 (1) 階段関数の積分、零集合	前回の復習をしてくること。
3.	積分論 (2) 階段関数の積分の拡張	前回の復習をしてくること。
4.	積分論 (3) L^+の積分の性質	前回の復習をしてくること。
5.	積分論 (4) 定義、Riemann積分との関係	前回の復習をしてくること。Riemann積分との違いを明らかにしておくこと。
6.	積分論 (5) Beppo Leviの単調収束定理	前回の復習をしてくること。
7.	積分論 (6) Lebesgueの収束定理	前回の復習をしてくること。
8.	積分論 (7) Fatouの補題、広義Riemann積分との関係	前回の復習をしてくること。
9.	中間試験と講評	前回までの復習をしてくること。
10.	積分論 (8) 多変数関数の積分とFubiniの定理	前回までの復習をしてくること。
11.	測度論 (1) 可測関数	前回の復習をしてくること。
12.	測度論 (2) 可測集合、可測関数と可測集合の関係	前回の復習をしてくること。
13.	測度論 (3) 開集合とBorel集合の可測性	前回の復習をしてくること。
14.	Lebesgueによる積分の定義（測度から積分へ）	前回の復習をしてくること。
15.	期末試験と講評	前回までの復習をしてくること。

評価方法と基準

教科書・参考書

履修登録前の準備

上記教科書の第1章と第2章を通読しておくこと。特に上限・下限・極限・上極限・下極限・連続・一様連続・一様収束などの概念が重要である（これらの多くは「解析基礎」で扱っている）。また「数学I」で学んだ積分（Riemann積分）の定義をよく復習しておくこと。

オフィスアワー、質問・相談の方法

環境との関連

地域志向

社会的・職業的自立力の育成

アクティブ・ラーニング科目

授業の到達目標と各学科の学習・到達目標との対応

(C-1)数学、自然科学に関する基礎を理解し、利用することができる。
(G-1)機械制御システム、電子情報システム、環境システム、生命科学、数理科学のうち1つの分野の専門知識・技術を修得し、それを問題解決に応用できる。
(H-3)定義と論証されるべきことを明確に区別でき、かつ、それを他者に明瞭に伝えられる。

開講部	システム理工学部
開講学科	数理科学科
開講学年	2年次
開講時期	後期
単位数	2
単位区分	選択
系列区分	専門
講義区分	講義
教育目標	C-1,G-1,H-3

V0350200

授業の概要