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フーリエ解析

Fourier Analysis

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准教授新澤信彦
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講師増本秀史

授業の概要

　19世紀の初め，フランスのFourierは熱伝導方程式の解の構成に画期的な方法を提案した．それは，関数は三角関数の無限和，つまり今日のFourier級数で表されると主張した．これ以降，フーリエ解析は数学面では実解析学の発展に貢献し，物理学・工学では自然現象を解析し解釈する強力な手段となり、数理物理学の分野が独立した．周期関数を正規直交系（三角関数など）で展開したものがフーリエ級数であり，微分方程式の求解や解析の手法を提供する．一般の関数にフーリエ級数を拡張したものがフーリエ変換で，それは関数の時間領域での性質・挙動を周波数領域での性質・挙動に対比させ，これにより物理学や工学は深さと豊かさを獲得たのである．講義では,数学としての厳密性にも留意し，応用を念頭においた現象解析と計算ツールとしてのフーリエ解析の理論・考え方・応用をバランス良く講義する．最近の技術革新に対処するにはこのバランスが絶対必要なことである．今日では，離散化され局所化された関数にフーリエ変換を拡張したものが離散フーリエ変換であり、これを計算するための高速フーリエ変換（FFT）の開発により，科学の多くの分野が革新された．この講義は離散フーリエ変換や高速フーリエ変換への入口でもある．

達成目標

1.直交関数とFourier級数との関係を理解する
2.Fourier級数、Fourier変換を理解する。
3.Fourier変換による偏微分方程式の解法を理解する。

授業計画


【授業計画】【授業時間外課題（予習および復習を含む）】
1.Fourier級数の基本性質（１）
　　　　　・直交関数系　・三角級数 		三角関数に関連した積分を復習しておく。授業後はフーリエ係数を導出する過程を復習する事。教科書の問などを活用して、自分でフーリエ級数を計算出来るか、確認する事。
2.Fourier級数の基本性質（２）
　　　　　・正弦級数　・余弦級数　・一般周期関数のFourier展開 		三角関数の周期性、偶関数・奇関数の積分について復習しておく事。授業後は、それぞれの展開を使うべき状況を整理しておく事。
3.Fourier級数の基本性質（３）
　　　　　・Fourier級数の収束　・Besselの不等式　・Parsevalの等式 		関数の連続性、微分可能性等について復習しておく事。授業後は、Parsevalの等式に関連した箇所を見直して、イメージをつかんでおく。
4.Fourier級数の基本性質（４）
　　　　　・複素型Fourier級数　・Fourier級数の項別微分と積分 		複素数とオイラーの公式について、調べておく事。授業後は、複素フーリエ係数を導出した過程を見直す事。教科書の問などを活用して、複素フーリエ級数を計算出来るか、確認する事。
5.演習１（範囲は１〜４） 1-4 の内容を見直し、ここまでに登場した公式や定理を整理しておく事。
授業後は解説を見ながら解けなかった問題を解き直しておく。
6.Fourier積分の基本性質
　　　　　・Fourier級数からFourier積分へ　・Fourier積分の収束 		教科書のFourier 変換を導出する部分に目を通して置く。授業後に教科書や課題の問で、Fourier変換の練習をする。Fourier変換、Fourier逆変換の公式は覚えて置く事。
7.Fourier変換の基本性質（１）
　　　　　・Fourier正弦（余弦）変換　・反転公式（逆Fourier変換） 		授業後に、Fourie 正弦変換・余弦変換の練習をする。教科書や課題の問を使って、Fourier 変換、Fourier 逆変換を使いこなせるようにする。
8.Fourier変換の基本性質（２）
　　　　　・基本性質　・畳み込み　・デルタ関数　・Parsevalの等式
　　　　　・Fourier変換とLaplace変換の関係 		畳み込みとデルタ関数の定義を覚える事。教科書や課題の問で、各項目の使い方を練習する。
9.演習２（範囲は６〜８）　・中間試験 6-8 の内容を見直し、ここまでに登場した公式や定理を整理しておく事。
授業後は解説を見ながら解けなかった問題を解き直しておく。
10.偏微分方程式（１）
　　　　・1次元熱伝導方程式の初期値・境界値問題 		2 変数関数と偏微分について復習しておく。教科書の偏微分方程式の説明に目を通しておく。授業後に、内容を復習し、解法の流れを覚えておく事。
11.偏微分方程式（２）
　　　　　・1次元波動方程式の初期値・境界値問題 		熱方程式の場合との違いに注目しながら、波動方程式の解法を見直す。
授業中に解説した例を、解き直してみる事。
12.偏微分方程式（３）
　　　　　・２次元ポテンシャル　・非斉次方程式の形式解 		教科書などで、ラプラス方程式、ポテンシャル問題に目を通しておく事。デルタ関数と畳み込みについて、復習しておく。授業後は例題を、解き直してみる事。
13.積分方程式 講義で扱う積分方程式に目を通しておく。新しく学習した内容の定義・定理を書けるようにし、例題を解きなおしておくこと。
14.演習３（範囲は９〜１３） 9-13 の内容を見直し、ここまでに登場した公式や定理を整理しておく事。授業後は解説を見ながら解けなかった問題を解き直しておく。
15.総合課題演習（範囲は１〜１３）　・期末試験 これまでに登場した定義や定理、公式を書き出して置くこと。9-13 の偏微分方程式の話に、これらの定理等がどうかかわっているのかをまとめて置く。

評価方法と基準

中間試験や演習・レポート・小テストなどを４０％，期末試験を６０％とし，総合得点６０点以上を合格とする．

教科書・参考書

各担当教員が最初の講義で紹介する．

履修登録前の準備

「微分積分1」あるいは「微分積分および演習１」と，「微分積分２」あるいは「微分積分および演習２」と，「線形代数1」と，「線形代数２」を履修していること.

学習・教育到達目標との対応(機械工学科)

1.(D-1)基本的な物理現象を自然科学の原理から数学的に導くことができ，機械の設計や性能評価に必要な技術計算ならびに統計処理を正確に行うことができる．

学習・教育到達目標との対応(機械機能工学科)

1.(E)機械工学における基盤分野の理解に必要な基礎的な数学の知識と応用能力，実験・分析の遂行に必要な確率・統計，情報処理の基礎的な知識や自然現象を数学的にモデル化し，シミュレーションする基礎的な知識と応用能力を習得する 　（1） 基礎的な数学の知識 　（2） 実験データの分析能力 　（3） 情報リテラシの習得 　（4） 自然現象をモデル化し，シミュレーションする能力

学習・教育到達目標との対応(応用化学科)

1.（Ａ）確かな基礎と化学の専門知識に基づいて問題を解決する。

学習・教育到達目標との対応(電気工学科)

1.C1:自然科学全般の基礎的な考え方を理解し、技術の基盤となる自然科学の原理を説明できる。

学習・教育到達目標との対応(電子工学科)

1.(C)自然科学、数学、情報技術の知識を習得し、現象を論理的に考えて理解する能力を身につける。

学習・教育到達目標との対応(土木工学科)

1.C:数学および自然科学などに関する工学基礎知識を習得し、土木工学分野において応用・利活用できる能力を身につける

オフィスアワー、質問・相談の方法

・各担当教員が最初の講義で発表する．

環境との関連

環境に関連しない科目

地域志向

地域志向ではない科目

社会的・職業的自立力の育成

・知識活用力を育成する科目
・対課題基礎力を育成する科目

アクティブ・ラーニング科目

能動的な学修への参加による授業が概ね半数
最終更新 : Sat Sep 24 07:27:24 JST 2016